如何把一个矩阵表示成初等矩阵的乘积
1. 行初等变换 ：
对给定的矩阵进行一系列行初等变换，目标是将其变换为单位矩阵。
每一次行初等变换都可以表示为左乘一个相应的初等矩阵。
2. 记录初等矩阵 ：
在进行行变换的过程中，记录下每一次所使用的初等矩阵。
3. 求逆矩阵 ：
对于每一个初等矩阵 \\（ P_i \\），其逆矩阵 \\（ P_i^{-1} \\） 也是初等矩阵。
将这些初等矩阵的逆矩阵记录下来。
4. 表示为乘积 ：
初等矩阵的乘积形式为 \\（ P_k^{-1} \\cdot P_{k-1}^{-1} \\cdot \\ldots \\cdot P_1^{-1} \\cdot A \\）。
由于初等矩阵的乘积和单位矩阵的乘积是原矩阵，即 \\（ P_k^{-1} \\cdot P_{k-1}^{-1} \\cdot \\ldots \\cdot P_1^{-1} \\cdot A = A \\）。
5. 逆变换 ：
如果需要，可以通过计算这些初等矩阵的逆矩阵来得到原矩阵 \\（ A \\） 的表示。
举个例子，假设有一个矩阵 \\（ A \\）：
```A = \\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\1 & 2\\end{pmatrix}```
我们可以通过以下步骤将其表示为初等矩阵的乘积：
1. 对矩阵 \\（ A \\） 进行行变换，使其变成单位矩阵 \\（ I \\）：
第一步：将第一行乘以 \\（ -1 \\） 加到第二行，得到
```\\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\-1 & 1\\end{pmatrix}A = \\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\0 & 1\\end{pmatrix}```
第二步：将第二行乘以 \\（ -1 \\） 加到第一行，得到单位矩阵
```I = \\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\0 & 1\\end{pmatrix}```
2. 记录下对应的初等矩阵及其逆矩阵：
初等矩阵：
```P_1 = \\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\-1 & 1\\end{pmatrix}P_2 = \\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\0 & 1\\end{pmatrix}```
初等矩阵的逆矩阵：
```P_1^{-1} = \\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\1 & 1\\end{pmatrix}P_2^{-1} = \\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\0 & 1\\end{pmatrix}```
3. 表示为初等矩阵的乘积形式：
```A = P_2^{-1} \\cdot P_1^{-1} \\cdot I = \\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\0 & 1\\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\1 & 1\\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\0 & 1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\1 & 2\\end{pmatrix}```
这样，我们就将矩阵 \\（ A \\） 表示成了初等矩阵的乘积形式
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